我们知道离开Volume时候的光照亮度

　　　　Lo=Li*T+∫T*(Le(p,w)+σs(p,w)*∫p(w1,w)*L(w1)*dw1)*dt

　　其中T=exp(-∫(σs(p,w)+σa(p,w))*dt).

　　我们注意到公式中的In-Scattering部分

　　　　∫σs(p,w)*∫p(w1,w)*L(w1)*dw1)*dt

　　这里有两次积分过程。第一次是计算四周的光线散射到视线方向，第二次积分是对光线传播途中进行积分。我们知道第一次积分的时候的四周的光线其实也是多次散射的结果，我们这里适当的简化，我们假设我们在第一次积分的时候只考虑直接照射的光线经过吸收和Out-Scattering后剩余的亮度，而不考虑散射来的光线亮度。这样就可以得到简化后的In-Scattering部分

　　　　∫σs(p,w)*∫p(w1,w)*L1(w1)*dw1)*dt //L1(w1)代表w1方向的只考虑吸收和Out-Scattering过程光线亮度

　　我们知道只考虑吸收和Out-Scattering的时侯 L1(w1)=Ls*Ts(w1),这里Ls表示光源的直接照射，Ts(w1)代表光线到达散射微粒的吸收和Out-Scattering过程。于是In-Scattering部分为

　　　　∫σs(p,w)*∫p(w1,w)*Ts(w1)*Ls(w1)*dw1)*dt

　　我们观察内部的对于球形的积分，我们的积分空间是以微粒为中心所在的球。那么我们对于这个积分可以使用SH来解开成为dot操作。我们将积分号内部分成两个部分,p(w1,w)*Ts(w1)和Ls(w1)。我们假设整个微粒所在的Volume对于环境来说很小，那么每一个微粒的Ls(w1)都是一样的，不同的就是在p(w1,w)*Ts(w1)部分。我们将这两个部分投影到SH上面可以分别得到系数。对于每一个微粒来说他们的Ls(w1)的系数是一样的，p(w1,w)*Ts(w1)的系数是不一样的，而且对于每一个w都有一组不一样的系数。我们可以把对于不同的w的系数保存在cube map中以备查找。这样我们碰到一个问题，就是每个微粒都有cube map,这样的结构对于硬件是不友好的。我们只能继续简化我们的操作。我们将上面提到的Ts(w1)忽略掉，那么对于所有的微粒就可以用同样的cube map来保存了(可能会需要多张，因为精度的需要)。

　　我们在下来看看最外面的积分，我们首先假设σs(p,w)在传播途中是恒量。我们可以使用蒙特卡罗积分法来近似的计算这个积分，我们取视线穿过Volume的两头的作为我们的采样,那么我们只需要计算出这两点微粒的结果和/2就可以得到近似值了。

　　通过上面的操作，我们有了对于微粒的N组系数(p(w1,w)投影得到)Ti(w)保存在cube map中，靠w也就是视线的方向来获取。同时还有周围环境的一组Ls(w1)的系数Li。我们通过一些技巧还能获得视线方向的Volume深度d.那么计算的时候我们首先渲染一边Volume到Texture,这次渲染我们把Volume的前面和后面的Ti(w)相加。接下来我们把这个相加得到的值和环境的Li作dot操作。并乘上σs*d/2得到了In-Scattering的结果。

　　最后把视线方向的吸收,Out-Scattering和上面计算得到的In-Scattering加起来就能得到我们所需的近似值了。

　　还没有实践不知道最终的效果会是怎么样的。


补充：

　　我们在考虑Volume的In-Scattering的情况的时候，如果假设Volume的微粒是各项同性的话，那么我们的相位函数p(w1,w)= 1/(4*PI)就可以使用一个常量来表示，那么我们就能在我们的计算中简化In-Scattering成为1/(4*PI)∫Ls(w1)*Ts (w1)*dw1.这样我们针对Volume的每个微粒将Ts(w1)投影得到SH系数Tsi.那么我们在最终计算In-Scattering的时候只需要用环境光照系数的Lsi和微粒系数的Tsi作dot就能得到在这个微粒上发生In-Scattering时的计算量。

　　上面所提到的两种方法，第一种是针对不是各项同性的微粒作的简化，我们忽略Ts(w1)项而考虑p(w1,w)项，这样我们对于同一个视线方向w就有 Volume中的所有的微粒的SH系数都是一样的.这样我们针对视线方向w的不同得到一组cube map来保存微粒的SH系数。而第二种方法是针对各项同性的微粒，那么这个情况下p(w1,w)就是常量，我们能考虑每个微粒的Ts(w1)这样对于每个微粒都能得到一组不同的SH系数。上面两种方法都是针对In-Scattering考虑的，最后计算最外层的积分的时候我们都是一致的采用蒙特卡罗积分法。我们采样两次一次是back face上面的，一次是front face上面的，最后计算出整个积分的近似值。